前言

虽然说是数学公式测试，不过这篇文章可不仅如此。这是一篇跨类型的文章：技术、学业、游戏三者合一。
话不多说，进入正题。

以下公式、信息源自Arcaea Wiki (FANDOM)，依据CC-BY-SA分享。

引语

每当使用到Tairitsu (Tempest) 技能里独特的“风暴进度条”(Tempest Gauge)时，体验通常是这样的：前奏/开端 Note判定十分平稳，没有出现FAR。 聚合 开始出现零星的FAR. 走向高潮 曲目到了较为难处，开始出现LOST. 终章 因为Tempest进度条的特色，出现连续LOST后迅速达成Track Lost. (此处Neta Tempestissimo谱师名义)
在这高风险高回报的Hard进度条变种之后是一套十分精巧的数学逻辑。

分析

直观感受

首先，Tempest进度条的回忆率（后记作RR）变化呈现连续平滑状，和其他的HARD进度条一个判定直接改变RR数值并不一样。所有Note判定对于它都是通过改变RR的变化率来实现的，也就是说每个判定影响的是RR的导数而非直接影响RR的数值。比如，你打出了一个LOST判定，就意味着 RR’ 变得更小，然后你又打出了PURE/FAR判定接了回去，那么 RR’ 会增大，到了驻点后继续增大变成正数开始让RR增长。
但Tempest进度条还有一个特性，在曲目开始的时候十分明显。 它会让RR自己缓慢降低。 刚开始的时候会看到它还是100%，到第一个Note出现的时候已经是98%了。这就是它的自然损失（Natural Loss，后文作NL）。在后文通过积分易得，每个PURE/FAR/LOST对RR的改变值大概是普通HARD进度条的两倍。

数学理论

记Note总量为N，回忆系数为RF，谱面长度为L
当RR < 100时，RR变化率V(t)由以下式子决定：

V(t)=−NL+∑i=1NEi(t−ti)V(t) = -NL +\sum_{i=1}^{N} E_i(t-t_i)

其中

  • tt为自谱面开始到现在的时长（单位：秒）
  • NL(t)NL(t)为上文提到的自然损失，RR降低的固定速率基值
  • tit_i是第i个Note判定生效的时刻
  • Ei(Δt)E_i(\Delta t)定义了距离第i个Note判定生效Δt\Delta t时长后对VV的影响

自然损失定义为：

NL(t)={RF∗NL+0.5若t<L0若t>=LNL(t) = \left\{\begin{matrix} RF * \frac{N}{L + 0.5} &\text{若} t < L\\ 0 &\text{若} t >= L \end{matrix}\right.

其中

  • 谱面时长LL为谱面开始到最后一个Note/Trace通过判定线的时间 （单位：秒）
  • 回忆系数RFRF是与谱面难度、Note总量有关的一个数值。决定了进度条中各Note判定对RR、分数的影响。

Ei(Δt)E_i(\Delta t)会划分为三种情况，取决于相应Note判定结果。如下式所示：

Ei(Δt)={0若Δt<0(如第一个判定还未出现)+2ln(2)⋅RF⋅2−Δt若 判定为PURE+ln(2)⋅RF⋅2−Δt若 判定为FAR−9ln(2)⋅2−0.5Δt若 判定为LOSTE_i(\Delta t) = \left\{\begin{matrix} 0 &\text{若} \Delta t < 0\text{(如第一个判定还未出现)}\\ +2ln(2) \cdot RF \cdot 2^{-\Delta t} &\text{若 判定为PURE} \\ +ln(2) \cdot RF \cdot 2^{-\Delta t} &\text{若 判定为FAR}\\ -9ln(2) \cdot 2^{-0.5\Delta t} &\text{若 判定为LOST} \end{matrix}\right.

综上所述：

dRRdt={0若V(t)>0且RR=100V(t)其余情况\frac{\mathrm{d} RR}{\mathrm{d} t} = \left\{\begin{matrix} 0 &\text{若}V(t) > 0 \text{且} RR = 100 \\ V(t) &\text{其余情况} \end{matrix}\right.

尽管曲目结束之后NL会变为0，但由于还有大概7s才会进入结算界面，故此时仍可能RR产生增减变化，导致Track Lost.

每个Note判定总体而言对于RR的影响如下式所示：

∫0∞Ei(Δt)dΔt={+2⋅RF若判定为PURE+RF若判定为FAR−18若判定为LOST\int_{0}^\infty E_i (\Delta t) d \Delta t = \left\{\begin{matrix} + 2 \cdot RF & \text{若判定为PURE} \\ + RF & \text{若判定为FAR} \\ - 18 & \text{若判定为LOST} \end{matrix}\right.

显而易见，每个Note判定对RR的影响效果大致呈一般HARD进度条的两倍，差异在于RR的一切改变是通过改变RR’来达成的。自然流失率，翻倍RR变化，改变RR变化率而非直接修改RR，三者共同作用塑造了我们所熟知的Tempest进度条高风险高回报的特点。